由滚动的滑块弹簧引发的简单思考

  相信大家小时候都玩过滑块弹簧，比如说弹簧笔、魔方，什么地方都有这种像螺纹管一样的弹簧。当你把这个滑块弹簧在桌面滚动的时候，就会看到一列波似乎从弹簧的一侧传递向另一侧；再比如钻头或者理发店门口的红蓝白三色柱，在转动的时候，也会感觉螺纹从一端源源不断地冒出，最后消失在另一端，这看起来确实类似于波在行进。我们可以简单计算这个波的波速。假设螺线管半径为r，旋转频率为f，螺距为h。我们所观测到的波是螺线管在某一平行其中心轴的平面上的投影。

  在一个周期1/f中，这个波“前进”了一个螺距h，波速为hf。而螺线管上绕中心轴做圆周运动的质点的运动速度为2πrf。对比不难发现，只要h>2πr的时候，总可以在螺线管各点速度均不超过光速的情况下，让这个波的“波速”超过光速。没有的，因为这个波根本没有携带任何信息，可以说，这个波上每一个点的轨迹，就像人浪一样约定好了，只是和波看起来有一样的形状。那么我们能换复杂点的螺线管吗蓝线是红线的投影。等相位点，就是每个极值点在不断向右推进，这就是相速度。
  但其实螺线管只是原地旋转，波的“复包络”，或者说螺线管的“外轮廓”没有前进。而整体包络前进的速度可以认为是“群速度”，就是大家一起“共同”的速度。此处举一例，对于极其接近的ω1，ω2≈ω，有两个波，其中第一项高频项就是载波整体向前传递，而后一项，变化极慢的项则是波的形状向前传递。那么对于一个给定的信号，如果把它当作某个螺线管的投影，可以还原出它对应的“螺线管”吗？那就是希尔伯特变换，这个变换是一个有些复杂的积分变换，还是个反常积分。